La historia del número cero

La historia del número cero es apasionante. Para muchos matemáticos, este número es mucho más que un dígito a pesar de su valor nulo cuando lo tratamos por separado. Tanta es su importancia que es considerado como una de las invenciones intelectuales más profundas que la humanidad a realizado. Su aparición dio inicio a una transformación radical no solo de las matemáticas, sino que también propició grandes avances en la ciencia y la tecnología. Gracias a él, permitió el desarrollo de sistemas de cálculo que hoy son fundamentales y que no tendrían sentido sin el número cero.

Breve historia del número cero

Antes de que el número cero se inventase, los conceptos de «nada» o «ausencia» ya existían. Sin embargo, como no era necesario contabilizarlos debido a que carecen de valor absoluto, no se creyó necesario dotarlos de un número. Ahora bien, en los sistemas de numeración, su aparición supuso una simplificación tanto en las operaciones como para representar grandes cantidades. Para ponerlo todo en contexto, esta es una breve historia del número cero.

Cultura Babilónica (2000 a. C.)

El sistema de numeración de los babilonias era complejo si lo comparamos con nuestro sistema decimal. En lugar de utilizar los dígitos del 0 al 9, como hacemos hoy en día, ellos utilizaban sesenta valores en un sistema conocido como sexagesimal. Ese sistema no ha desaparecido, sino que es el que se usa a la hora de contabilizar el tiempo. Es por eso que 1 hora son 60 minutos; un minuto, 60 segundos. También se usa para contabilizar los grados: 1 grado son 60 minutos; un minuto, 60 segundos.

Tanto el sistema decimal como el sexagesimal son posicionales, es decir, el valor de un número depende de su posición. Un ejemplo claro: en el número 1363, el valor del «1» es mucho mayor que el que aparece en 5215. En el primer caso vale 1000 mientras que en el segundo vale 10.

En el siglo III a. C. los babilonios comenzaron a usar dos cuñas inclinadas que se utilizaban como marcadores de posición. Así podían indicar la ausencia de un dígito tal y como se aprecia en la imagen de abajo:

En esta imagen, el número de arriba representa 64 = 1 * 60 + 4 * 1. El de abajo, donde aparecen las dos cuñas, muestra un 3604 = 1 * 60 * 60 + 0 * 60 + 4 * 1.

Culturas Mesoamericanas (36 a. C.)

Posiblemente los Olmecas y, con certeza, los Mayas utilizaban un sistema de numeración vigesimal, es decir, usando veinte dígitos. Su sistema sí que incluía un símbolo para el cero, que se representaba mediante una figura que se parecía a una concha o una flor. Lo utilizaban como un marcador de posición, lo que les permitía utilizar grandes ciclos de tiempo. Sin embargo, este sistema no se propagó al resto del mundo.

Cultura India (s. VII d. C.)

La mayor revolución en la historia del número cero se produjo en India. Ellos fueron quienes dieron al cero un valor propio como número y no solo como una herramienta de marcador de posición. Para ello utilizaron la palabra sánscrita shunya, que significa «vacío» o «nada».

Alrededor del siglo VII d. C., el astrónomo y matemático Brahmagupta fue quien formalizó el concepto de cero. Para ello postuló las reglas para operar con este nuevo número. Por ejemplo, él fue quien dijo que al restar un número de sí mismo, el resultado era cero. También que al multiplicar un valor por cero, daba como resultado cero. También uno de los pioneros en utilizar los números negativos.

Sistemas de numeración no posicionales

Para hablar del concepto de cero se han visto los sistemas de numeración posicionales, donde el valor de cada cifra dependía de la posición. Antes del concepto de cero, los sistemas numéricos eran no posicionales. El ejemplo más conocido es el sistema de numeración romana, que utiliza los valores I, V, X, L, C, D y M. Cada letra tiene su valor independientemente del lugar que ocupen, aunque hay casos en los que el valor en lugar de sumar, se resta. Como en el caso de utilizar los símbolos V e I ya que VI es 5 + 1 = 6, mientras que IV es 5 – 1 = 4.

El problema de la numeración romana es que para escribir números grandes, se requerían múltiples símbolos. Así, operar con ellos era complicado y se requería del uso de un ábaco u otra herramienta para facilitar las operaciones. Un ejemplo: el número 1981 en romano se escribe de la siguiente manera: MCMLXXXI. A pesar de todo, la escritura de números romanos también ha evolucionado y hoy se consideran incorrectas algunas notaciones usadas en la antigüedad, como la que muestra la siguiente imagen:

Traducción de la estela

Aunque esto quede un poco fuera de lugar, me apetece traducir el texto tallado. Me he servido de inteligencia artificial para ayudarme con la traducción y este es el resultado final.

Original

• M · CAELIO · T · F · LEM · BON
• LEG · XIIX · ANN · LIII
• C · DIE · BELLO · VARIANO · OSSA
• INFERRE · SI · LICET · P · CAELIVS · T · F
• LEM · FRATER · F · C

Traducción

• [M] Marco [CAELIO] Celio, [F] hijo de [T] Tito, de [LEM] Lemonia nacido en [BON] Bononia.
• [LEG] Legión [XIIX] 18 de [LIII] 53 [ANN] años…
• [C · DIE] Murió en la [BELLO] Guerra de [VARIANO] Varo. Sus [OSSA] huesos…
• sean [INFERRE] enterrados aquí [SI] se [LICET] permite . [P] Publio [CAELIVS] Celio, [F] hijo de [T] Tito…
• de la tribu [LEM] Lemonia, su [FRATER] hermano, [F] feci [C] curavit.

Notas

• T F significa Titus Filius o hijo de Tito.
• BONONIA hace referencia a la actual Bolonia.
• Como ya se ha dicho, XIIX antes era válido pero hoy es considerado incorrecto y 18 se representa como XVIII.
• BELLO VARIANO hace referencia a la batalla donde fue derrotado Publio Quintilio Varo. Se le conoce como «Desastre de Varo» o batalla del bosque de Teutoburgo.
• La locución «OSSA INFERRE SI LICET» (que sus huesos sean enterrados aquí, si se permite) parece que expresa un deseo de que sus restos se depositen allí cuando sean encontrados, y si no aparecen, que con esa estela su alma encuentre el reposo.
• F C son las siglas de feci curavit, que al aparecer tras Publio Celio, indica que su hermano o frater hizo erigir este monumento y cuidó de todos los detalles.

Traducción interpretada

Con todos los datos, el texto de la estela podría traducirse de la siguiente manera:

«A Marco Celio, hijo de Tito, del distrito de Lemonia, nacido en Bolonia, de la Legión 18 de 53 años, murió en la Guerra de Varo. Que sus restos sean enterrados aquí, si se permite. Publio Celio, hijo de Tito, del distrito de Lemonia, su hermano, hizo erigir este monumento y cuidó todos los detalles.»

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En el caso de los sistemas posicionales incompletos, como en Babilonia, el no tener un símbolo para la ausencia, antes de incluir el par de cuñas no se podía distinguir entre los valores 23, 203 o 2003. Es sencillo comprender que la falta de un símbolo para el cero, simbolizando un concepto tan abstracto como la nada, fue un obstáculo a la hora de hacer operaciones. Culturas avanzadas como la griega o romana nunca lograron superar completamente tal obstáculo que incluso llegaron a rechazarlo por motivos filosóficos o lógicos.

La aceptación del número cero

Como ya se ha visto, la palabra «cero» proviene de la voz sánscrita shunya. Desde India se propagó hasta el mundo árabe, donde fue conocido como sifr, que signica «vacío». Matemáticos como Muḥammad Ibn Mūsā Al-Jwarizmī (*) en el siglo IX lo adoptaron y lo integraron en el sistema numérico hoy conocido como indo-arábico, o decimal posicional. Estos trabajos fueron fundamentales para difundir el concepto de «cero».

A través de contactos transmediterráneos y, por supuesto, por el comercio, el «cero» llegó a Europa. El matemático italiano Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, lo introdujo en su tratado Liber Abaci de 1202. Ahí reconoció el poder del uso de este símbolo, traduciéndolo del árabe sifr al italiano zefiro, de donde surgió «zero». La aceptación en Europa fue lenta debido a choques tanto con la Iglesia como con el sector comercial. Veían el valor de cero como sospechoso porque, pensaban, que ese valor de «nada» podría usarse para la falsificación. Finalmente, en el siglo XV se popularizó y se aceptó plenamente.

(*) En mi libro Por qué mirábamos las estrellas se puede encontrar la relación entre Al-Jwarizmī y el Dolmen de Soto en Huelva.

La importancia del número cero en la ciencia

La implantación del cero supuso una revolución en el pensamiento matemático y científico. No cabe duda de que es clave en el sistema decimal posicional. En aritmética permite escribir y operar con cantidades tanto enormes como minúsculas de un modo sencillo. En el siglo XVII, René Descartes usó el cero en álgebra como el origen de su sistema de coordenadas cartesianas (0, 0). Esto ofrece un marco para relacionar el álgebra con la geometría y hace posible la representación de funciones.

En cálculo, y más concretamente en cálculo infinitesimal, el cero es crucial en los desarrollos realizados por Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Sin el cero, los conceptos de límite o de infinitesimal no tendrían sencillo, algo que, por otro lado, resulta fundamental para la física moderna.

También, en computación se ha estandarizado que el sistema binario utilice los dígitos 0 y 1. Esto supone que, aunque se hubiesen podido utilizar otros valores, a día de hoy, la computación no se comprendería sin ese valor.

El cero absoluto

Quizás, la referencia más clara definida a partir del cero es la del cero absoluto. En termodinámica, los cero Kelvin o 0 K (**) es un valor que se define como -273.15 ºC. Esta temperatura marca el valor más bajo posible y cuando alguna partícula llega a ese punto de cero absoluto, cesa todo movimiento molecular.

El punto de equilibrio

En física clásica, el cero es el punto de equilibrio, aquel en el que todas las fuerzas se anulan indicando que un objeto está en reposo o se mueve a una velocidad constante según la Primera Ley de Newton. Por otro lado en física relativista y en física cuántica, el cero también juega un papel fundamental. El valor de cero ayuda a definir el estado base o la «nada» del vacío cuántico.

(**) Es incorrecto hablar de «grados Kelvin» dado que la escala Kelvin es absoluta. Es decir, no hay nada más bajo que el 0 K. A diferencia de la escala centígrada, tenemos el cero, que se define como el punto de fusión del agua a una presión de una atmósfera. Sin embargo, como ahí sí que se tienen valores negativos, sí que es necesario graduar la escala. Pero en la escala Kelvin, la graduación es un error.

El número cero en astronomía

En astronomía el número cero es vital. Hace no relativamente mucho tiempo, se estableció el tiempo cero para situar las efemérides astronómicas. Muchos catálogos estelares modernos toman este tiempo cero como el 1 de enero de 2000 a las 12:00 de tiempo terrestre. También en las coordenadas ecuatoriales, el punto cero está situado donde el eje de giro de la Tierra se corta con la esfera celeste en la zona norte y tiene unas coordenadas de ascensión recta (RA): 0h 0m 0s y declinación (Dec): 0º 0′ 0″.

Otro claro ejemplo se da en la escala de magnitudes que miden el brillo de los cuerpos celestes. Se parte de la base de que la escala de magnitudes aparentes responde a una escala logarítmica invertida. Esto quiere decir que cuanto más brillante sea un objeto visto desde la Tierra, su valor de magnitud será menor. El objeto celeste que marca una magnitud 0,0 es la estrella Vega (α Lyr), quinta más brillante del cielo nocturno. La más brillante es Sirius (α CMa). Por tener más luminosidad que Vega, tiene una magnitud negativa y su valor es de m = -1,46. Otros valores de magnitud interesantes son, por ejemplo, el de la estrella polar o α UMi (m = +1,97), el Sol (m = -26,7) o la Luna (m = -12,7).

Los conjuntos numéricos, el número cero y los números negativos

Existen una serie de conjuntos numéricos que engloban ciertos tipos de valores. Según el convenio actual de las matemáticas, son los siguientes:

• Naturales (N o Z⁺): representan los números enteros positivos que se utilizan para contar, sin incluir el cero. Lo conforman: {1, 2, 3, …}.
• Naturales extendido (N₀ o W): es el conjunto anterior añadiendo el número cero. Por lo tanto, se utilizan para contar incluyendo también la ausencia de cantidad. Lo conforman: {0, 1, 2, …}.
• Enteros (Z): incluye el conjunto N₀ además de todos los enteros negativos. Esto habilita operaciones de sustracción sin restricciones. Lo conforman: {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
• Racionales (Q): incluye a todo el conjunto Z, además todos los números que se pueden denotar en forma de fracción. Es decir, del tipo a/b, siendo a y b números pertenecientes a Z, con la excepción de que b nunca puede ser cero.
• Irracionales (I o Q’): incluye a todos los números que no pueden ser representados en forma de fracción. Ejemplos de números irracionales son π, e o √2.
• Reales (R): es el conjunto resultante de unir los racionales con los irracionales (R = Q ∪ I). Los números reales se pueden representar en la recta numérica de tal forma que no quede ningún hueco entre número y número.
• Imaginarios (Im o I): tienen la forma bi, donde b es un número real y el valor i representa la raíz cuadrada de -1.
• Complejos (C): es el conjunto de números reales y números imaginarios. Tienen la forma a + bi, donde a y b son números reales. Matemáticamente se definiría como C = {a + bi | a ∈ R, b ∈ R}

El debate del número cero: ¿natural o no?

Conociendo todos los conjuntos, el número cero es el punto de unión de los valores positivos y los negativos. A nivel matemático general, el cero es considerado como elemento neutro en suma y resta, así como el punto de simetría de la recta numérica. Lo que ocurre es que hay un debate abierto en las matemáticas: ¿es el cero un número natural? Actualmente, el debate se ha solucionado definiendo el conjunto de naturales extendido que contiene el cero a diferencia del conjunto de naturales puro, que no lo incluye. Pero la pregunta sigue siendo la misma: ¿debería estar el cero en el conjunto de los naturales per se?

La postura clásica

La postura numérica más clásica de los números naturales indica que este conjunto es el que se utiliza para contar y ordenar. Esto se defiende porque históricamente los números naturales surgieron para contar objetos discretos como dos piedras, cuatro personas personas o cinco árboles. Si algo no existía, no se puede contar. Dicho de otro modo, en una enumeración no tiene sentido tener en cuenta una piedra, una persona o un árbol que no existe.

Por lo tanto, según la convención clásica, el número cero no pertenece al conjunto de los naturales.

La postura moderna

En la postura numérica moderna, los números naturales se definen a partir de la Teoría de Conjuntos y la Lógica. Por lo tanto, atendiendo a los conjuntos, los naturales se definen como los números cardinales, es decir, aquellos que indican el tamaño de un conjunto. Por lo tanto, para definir el conjunto vacío es necesario definir el tamaño cero.

Según esta postura, el cero sí que sería un número natural ya que define el tamaño del conjunto vacío.

Como extensión a la postura moderna podemos hablar de las ciencias de la computación donde el cero es fundamental a la hora de indexar un array. Esto es porque si se define un array de tamaño N, el primer elemento está en la posición 0 mientras que el último está en la posición N – 1. De esta forma, al recorrer el array nunca habrá una posición N que se confunda con el tamaño, sino que como mucho, llegaremos a la posición N – 1. Es decir, si definimos un array de tamaño 4, el array tendrá las posiciones 0, 1, 2 y 3, que en total, serían los cuatro elementos.

Conclusión

No cabe duda que la inclusión del número cero ha dotado de mucha potencia a la representación de valores y a la operación con ellos. Sin embargo, el debate sobre si incluir el cero en los naturales o no hacerlo, es algo que está lejos de llegar a un acuerdo. Esto es debido porque su inclusión o no tiene sentido lógico dentro de sus respectivos campos de aplicación. Por lo tanto, antes de utilizar el número cero, conviene definir qué convenio se utilizará.