El reloj de luz: longitudes y tiempos relativistas

Este texto sirve como continuación al que publicamos hace unas semanas sobre Simultaneidad de eventos y relatividad. Por lo tanto, continuamos con aquel famoso artículo de los cinco que publicó en 1905, su annus mirabilis. Recordemos, se titulaba «Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento» (Einstein, 1905) y ahí aborda su teoría especial de la relatividad. Si bien es cierto que en el texto anterior hablábamos de que la simultaneidad no existe bajo la relatividad especial ya que es algo subjetivo dependiendo del marco de referencia en el que observemos, hoy desarrollamos una de sus principales consecuencias: qué ocurre con las longitudes y el tiempo. Eso servirá como introducción para hablar del muon y ver un caso real de comportamiento relativista.También mostraremos un caso real de comportamiento relativista como es el del muon, una partícula subatómica de lo más interesante.

Para ello, en primer lugar desarrollaremos un pequeño experimento hipotético que nos ayudará a comprender cómo se comporta el tiempo observando un cuerpo en movimiento. Este experimento se denomina «reloj de luz».

El reloj de luz

Imaginemos un dispositivo que se compone de dos detectores reflectantes perfectamente alineados en vertical, los llamaremos Ri y Rf. Ambos están separados una longitud L y entre ellos hay unas condiciones de vacío. Imaginemos también que entre los dos detectores circula un rayo de luz. Los detectores, al ser reflectantes, hacen que el rayo se esté moviendo continuamente de uno a otro a la velocidad de la luz, es decir, v = c. El siguiente diagrama muestra cómo sería nuestro reloj de luz:

reloj de luz

Con esto, podemos calcular el tiempo que tarda un rayo de luz en ir de Ri a Rf y volver de Rf a Ri, es decir, el tiempo que tarda en hacer una oscilación completa con el reloj de luz en reposo y el observador también en reposo:

tiempo medido

Ahora, veremos cómo se comportan dos relojes de luz, uno en movimiento (RA) y otro estacionario (RB) y lo utilizaremos para analizar cómo se comporta el tiempo.

El reloj de luz y la relatividad del tiempo

Como ya hemos adelantado, tendremos dos relojes de luz, uno que se desplazará a una velocidad constante (RA) y otro parado (RB). Junto a cada uno de ellos, un observador A y un observador B, respectivamente. Este sería el esquema de la situación:

reloj de luz A y B

¿Qué verían los observadores A y B? Veremos cómo ve el observador A su reloj de luz y después, cómo ve el observador B el reloj de luz de A en comparación con el suyo.

Lo que observa A en su reloj de luz

Como vimos en el texto que hemos mencionado al principio, y según el principio de la relatividad, lo que mide el observador A sobre RA es lo mismo que mediría si tanto él como su reloj de luz estuvieran en reposo. Por lo tanto, el tiempo de una oscilación que mide A sobre su reloj de luz es este:

tiempo medido

Lo que observa B en su reloj de luz

En este caso, como el observador B está en reposo junto a su reloj, el tiempo que mediría de una oscilación sería este:

tiempo medido

por lo que tendríamos que:

equivalencia de tiempos

Lo que observa B en el reloj de luz de A

Hasta aquí todo obedece a nuestro sentido común. Sin embargo, ahora veremos lo que ocurre cuando el observador B, que sigue en reposo, observa el reloj de luz de A, que está en movimiento a velocidad constante.

Sabemos que para el observador A, el rayo de luz viaja impactando desde el detector Ri hasta el detector Rf. Por lo tanto, para el observador B cuando observe el reloj de luz de A, también observará que el rayo de luz impacta en los dos detectores. Sin embargo, como el reloj de luz de B está en movimiento, para que A observe el impacto en los detectores, el rayo de luz no viajará completamente en vertical como lo observa B, sino que viajará con cierta inclinación para que se cumpla que el rayo impacta en los detectores. Por supuesto, en base al principio de la constancia de la velocidad de la luz, tanto el observador A como el observador B miden que el rayo viaja a la velocidad de la luz. Este sería el esquema de lo que observa B al analizar el reloj de luz de A:

reloj de luz en movimiento

Analizando la situación del reloj de luz de A visto por B

El diagrama para analizar la trayectoria de la luz que observa B sería este:

rayos del reloj de luz

donde, de manera directa, se pueden calcular los valores de x y D, que serían estos:

distancia y teorema de Pitágoras

Además sabemos durante el tiempo que mide el observador B para el ciclo completo, el rayo de luz recorre una distancia 2D. Por otro lado, durante el tiempo que mide el observador A para el ciclo completo de su reloj de luz, recorre una distancia 2L. Por lo tanto:

Obtención de D y L

Sustituyendo, tenemos que:

Obtención de tiempo percibido

Si hacemos este cambio:

factor de Lorentz

donde a γ se le denomina «Factor de Lorentz», tenemos que:

simplificación

Conclusión: dilatación temporal

Como siempre vamos a tener que v < c, entonces siempre tendremos que γ > 1 lo que implica que ΔtB > ΔtA. ¿Esto qué quiere decir? Que para el observador A, el tiempo del reloj de luz del observador B transcurre más lentamente que el reloj de luz del propio A. Dicho de otro modo: Para un observador estático, existe una dilatación del tiempo al medir sobre un observador en movimiento.

Si representamos el reloj de luz de B visto por B (RB:B) y el reloj de luz de A visto por B (RA:B), los «tic-tac» de cada reloj serían estos:

dilatación del tiempo

Entonces, para que el reloj de A visto por B llegue a marcar 4, en el reloj de A visto por A marcará prácticamente 6, por lo que el tiempo del reloj de A visto por B experimenta una dilatación. Aunque para el observador A, su reloj de luz marcará el tiempo al mismo ritmo que percibe B de su propio reloj de luz.

Relatividad de las longitudes

Para hablar de la relatividad de las longitudes no tenemos un experimento mental hipotético como es el reloj de luz sino que nos tenemos que ir directamente al planteamiento. El planteamiento será el siguiente: medir la longitud de un objeto desde el punto de vista de un observador estático y desde el punto de vista de un observador que viaja a bordo del objeto. Un buen símil podría ser una nave espacial. Es decir, ¿cuánto mide la nave espacial para cada uno de los observadores?

Antes pudimos ver que la velocidad dilata el tiempo para un observador estacionario con respecto a otro observador moviéndose a velocidad constante. A mayor velocidad, mayor dilatación. Es decir, el observador estático observa que un intervalo de un «tic-tac» del reloj en movimiento tarda más tiempo en suceder que el «tic-tac» de su reloj estático. Con las longitudes ocurre justo lo contrario: el observador estático observa una longitud menor que la que medirá el observador a bordo. Además, al aumentar la velocidad disminuirá la longitud.

También conviene definir el concepto de longitud propia: es la longitud de un objeto medida cuando tanto el objeto como los observadores están en reposo. Por lo tanto, la medida será igual para el observador a bordo y el observador estático.

contracción de longitud

Mismas velocidades relativas

De este modo, basándonos en el diagrama de arriba, la velocidad relativa con la que A observa pasar a B y con la que B observa pasar a A, es la misma. Sin embargo, cuando el observador A mira su reloj y mira el reloj de B, los tiempos son distintos. Es decir, como la velocidad es la misma para ambos observadores y el tiempo no, la distancia también debe variar para que la velocidad se mantenga constante, disminuyendo una magnitud para que aumenta la otra y viceversa.

Supongamos que L0 es la longitud propia de la nave y que Δt = t1 – t0, es decir, el tiempo medido observando la nave en movimiento. Entonces, tenemos que el observador B calcula la velocidad de la nave de la siguiente manera:

velocidad medida

Por otro lado, el observador A que va a bordo de la nave podrá medir la velocidad de la nave de la siguiente manera en relación a la posición del observador B:

velocidad medida

donde Δt0 es el tiempo propio y L es la distancia, ambos medidos por el observador A, que está en en movimiento. Como t0 es el tiempo medido por el observador en movimiento, es decir, t0 = tA, entonces, t = tB o tiempo medido por el observador estacionario. Ahora tenemos que:

dilatación de tiempos

También sabemos que vA y vB son las mismas, por lo tanto:

contracción de longitudes

Conclusión: contracción de longitudes

Entonces, como el factor de Lorentz o γ siempre va a ser mayor que 1 para velocidades menores que la de la luz, tendremos que la longitud medida va a ser la longitud propia dividido entre el factor de Lorentz. Por lo tanto, es fácilmente deducible que la longitud medida siempre será menor que la longitud propia, constatando la contracción de longitudes.

Un caso real: el comportamiento relativista del muon

Un muón es una partícula subatómica de la familia de los leptones, al igual que los electrones. A pesar de que electrones y muones son parientes, tienen notables diferencias:

  • Masa: el muon tiene unas 207 veces más masa que el electrón.
  • Estabilidad: la vida media del electrón, a efectos teóricos, se puede considerar infinita; por otro lado, la vida media del muon es de 2,2 microsegundos.

La semejanza que tienen muon y electrón es que ambos tienen carga negativa.

Los muones se generan cuando los rayos cósmicos impactan contra la atmósfera. Durante esos 2,2 μs, viajan a la increíble velocidad de 0,998c, es decir, un 99,8% de la velocidad de la luz. A esa velocidad y durante ese tiempo, el muon recorrería una distancia de 658,68 m. Sabemos que los muones se forman a una altura que varía entre los 1.500 y los 15.000 metros de altitud. Entonces aquí está el problema: ¿por qué podemos medir muones a nivel del mar cuando no deberían viajar más de 658,68 metros? La respuesta es que el muon se comporta de manera relativista. Para resolver este dilema, lo abordaremos desde dos puntos de vista: un observador estático a nivel del mar y un observador a bordo del muon.

El muon visto desde la Tierra

El observador situado en la superficie del mar, llamémosle T, vería al muon acercarse a una velocidad de vM = 0,998c. Por lo tanto, ¿cuál sería la vida media del muon para el observador T? Tendríamos:

contracción de tiempos

donde tM es la vida media del muon vista por el muon, es decir, 2,2 μs. Entonces:

tiempo percibido
muon t max

Entonces, el observador T al ver el muon durante 34 μs a una velocidad de 0,998c, lo vería recorrer una distancia de 10.179,60 m, por lo que lo vería llegar a la superficie. Por lo tanto, teniendo en cuenta la dilatación del tiempo, se explica que algunos muones puedan verse en la superficie de la Tierra. ¿Pero, qué ocurre con el muon?

La Tierra vista por el muon

Para el muon, su vida media es de 2,2 μs y, bajo su marco de referencia, es la Tierra la que se acerca a él a una velocidad de 0.998c ya que para el observador que va a bordo del muon, él está estacionario y es la Tierra quien se acerca. Por lo tanto, ¿qué ocurre con ese intervalo entre los 1.500 y los 15.000 metros que tiene que atravesar?

Sabemos que L0 es la longitud propia, por lo que haremos dos cálculos: L0M será la longitud máxima y L0m será la longitud mínima. Por otro lado, sabemos que la longitud que percibe el muon es la longitud propia dividido entre el factor de Lorentz. Por lo tanto, las longitudes máximas (LMM) y mínimas (LMm) que el muon percibe de la atmósfera terrestre son:

contracción de longitudes

y poniendo cifras, tenemos:

longitud percibida
muon L min

Entonces, cuando el muon viaja a una velocidad de 0.998c durante un tiempo de vida de 2,2 μs recorrerá una distancia de entre 948,21 m y 94,82 m, mucha menor que la que percibe el observador T y, por lo tanto, capaz de verlo en la superficie terrestre.

Conclusión: el muon se comporta de manera claramente relativista

De este modo podemos concluir que el muon, dependiendo desde donde lo observemos, experimentará una dilatación de tiempo o una contracción de longitudes. En cualquier caso, el muon podrá ser detectado en la superficie terrestre aunque su vida media sea 2,2 μs ya que se desplaza a una velocidad de 0,998c.

Anexo: el intervalo invariante

A la relación entre la dilatación del tiempo y la contracción de longitudes para un mismo evento de tal forma que se mantenga la velocidad, se le denomina «intervalo invariante» y se expresa así:

intervalo invariante

Donde se ve la invarianza entre tiempos y distancias entre dos marcos de referencia.

Con esta conclusión, finalizamos estos dos textos donde hemos hablado de la manera más sencilla posible sobre los comportamientos relativistas en cuanto a simultaneidades, tiempos y longitudes. Espero que os haya gustado.

Referencias

Einstein, A. (1905). Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Annalen der Physik, 322, iss. 10. DOI: 10.1002/andp.19053221004 (Ver).

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